Sri Kurniati: Persamaan lingkaran

Lingkaran dengan jari-jari r=1, berpusat di (a,b)=(1,2 , 0,5)

Persamaan Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (x,y) yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu.
Persamaan umum lingkaran adalah:

$\boldsymbol (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2$

Penting! Bagi siswa SMA, Anda diharuskan hafal rumus persamaan umum lingkaran karena keluar dalam ujian nasional!

Mencari jarak antara 2 titik A (x₁,y₁) dan B (x₂,y₂):

$r = \sqrt { (x_1-x_2)^2 + (y_2-y_1)^2}$

Mencari jarak antara titik A (x₁,y₁) dan garis Ax+By+C=0 :

$d = \left\vert \frac {Ax_1+By_1+C}{\sqrt {A^2+B^2}} \right\vert$

Mencari jari-jari (r) jika diketahui persamaan lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C=0$ :

$r= \sqrt {\frac {1}{4}A^2 + \frac {1}{4}B^2 - C}$

Contoh 1:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A(2,7) dan melalui B(5,3)!
Jawab:

$r= \sqrt { (5-2)^2 + (3-7)^2}$

$r= \sqrt {25}$

$r= 5$

$\boldsymbol (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2$

$\boldsymbol (x-2)^2 + (y-7)^2 = 25$

$x^2+y^2-4x-14y+28=0$

Contoh 2:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di puncak parabola $y=x^2-2x+5$ dan menyinggung garis $3x+4y+5=0$ !
Jawab:

$y=x^2-2x+5$

$x_p = - \frac {b}{2a} = - (\frac {-2}{2})= 1$

$y_p = 1^2 - 2 \times 1 + 5 = 4$

maka berarti titik pusatnya berada pada koordinat (1,4).

$3x+4y+5=0$

$A=3, B=4, C=5$

$d = r = \left\vert \frac {Ax_1+By_1+C}{\sqrt {A^2+B^2}} \right\vert$

$d = r = \left\vert \frac {3 \times 1 + 4 \times 4 + 5}{\sqrt {3^2+4^2}} \right\vert$

$d = r = \frac {24}{5}$

$\boldsymbol (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2$

$\boldsymbol (x-1)^2 + (y-4)^2 = \frac {576}{25}$

$x^2+y^2-2x-8y+17 - \frac {576}{25}=0$

$25x^2+ 25y^2 - 50x - 200y - 151=0$

Kedudukan garis terhadap lingkaran

Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran, substitusikan garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax²+bx+c=0.
Lihat diskriminannya: $D=b^2-4 ac$
Jika

D<0, berarti garis berada di luar lingkaran (tidak memotong lingkaran)
D=0, berarti garis menyinggung lingkaran
D>0, berarti garis memotong lingkaran di 2 titik berbeda.

Contoh 1:

Tentukan posisi garis:
- $y= x+10$ terhadap lingkaran $x^2+y^2= 9$

Jawab:

$x^2 + (x+10)^2=9$

$x^2+ (x^2+20x+100)-9=0$

$2x^2 +20x+91=0$

$D=b^2-4 ac$

$D=20^2- 4\times 91 \times 2$

$D= 400-728= -328$

Karena $D<0$ , maka garis berada di luar lingkaran.
Contoh 2:

Tentukan p agar garis $y= -x+p$ terletak di luar lingkaran $x^2+y^2-2x-4y+3=0$ !

Jawab:

$x^2+ (-x+p)^2 - 2x- 4(-x+p)+ 3=0$

$2x^2 - 2px + p^2 - 2x + 4x -4p + 3=0$

$2x^2 + (2-2p)x + p^2 -4p + 3=0$

syarat: $D<0$

$(2-2p)^2-4(2)(p^2-4p+3)<0$

$4p^2-8p+4-8p^2+32p-24<0$

$-4p^2+24p-20<0$

$-4(p^2-6p+5)<0$

$-4(p-5)(p-1)<0$

$p=5$ atau $p=1$

Gambar dengan garis bilangan untuk pertidaksamaan diatas, maka akan didapatkan nilai p: $p<1$ atau $p>5$

Persamaan garis singgung lingkaran

Perhatian! Persamaan garis singgung lingkaran merupakan salah satu bahan yang diujikan dalam ujian nasional.

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x₁,y₁) yang terletak pada lingkaran

Jika persamaan lingkaran $x^2+y^2=r^2$ , maka persamaan garis singgungnya:

$x_1x + y_1y = r^2$

Jika persamaan lingkaran $(x-x_p)^2+ (y-y_p)^2=r^2$ , maka persamaan garis singgungnya:

$(x_1-x_p)(x-x_p) + (y_1-y_p)(y-y_p) = r^2$

Jika persamaan lingkaran berbentuk $x^2 + y^2 + Ax + By + C =0$ , maka persamaan garis singgungnya:

$x_1x + y_1y + \frac {1}{2} A(x+x_1) + \frac {1}{2} B(y+y_1)+C=0$

Persamaan lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C =0$ dapat juga diubah menjadi $(x-x_p)^2+ (y-y_p)^2=r^2$ dengan kuadrat sempurna, sehingga rumus yang harus dihafalkan jadi lebih sedikit.

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m

$y = mx \pm r \sqrt {m^2+1}$ atau $y-y_p = m (x-x_p) \pm r \sqrt {m^2+1}$

Lingkaran dengan jari-jari r=1, berpusat di (a,b)=(1,2 , 0,5)

Persamaan Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (x,y) yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu.
Persamaan umum lingkaran adalah:

$\boldsymbol (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2$

Penting! Bagi siswa SMA, Anda diharuskan hafal rumus persamaan umum lingkaran karena keluar dalam ujian nasional!

Mencari jarak antara 2 titik A (x₁,y₁) dan B (x₂,y₂):

$r = \sqrt { (x_1-x_2)^2 + (y_2-y_1)^2}$

Mencari jarak antara titik A (x₁,y₁) dan garis Ax+By+C=0 :

$d = \left\vert \frac {Ax_1+By_1+C}{\sqrt {A^2+B^2}} \right\vert$

Mencari jari-jari (r) jika diketahui persamaan lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C=0$ :

$r= \sqrt {\frac {1}{4}A^2 + \frac {1}{4}B^2 - C}$

Contoh 1:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A(2,7) dan melalui B(5,3)!
Jawab:

$r= \sqrt { (5-2)^2 + (3-7)^2}$

$r= \sqrt {25}$

$r= 5$

$\boldsymbol (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2$

$\boldsymbol (x-2)^2 + (y-7)^2 = 25$

$x^2+y^2-4x-14y+28=0$

Contoh 2:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di puncak parabola $y=x^2-2x+5$ dan menyinggung garis $3x+4y+5=0$ !
Jawab:

$y=x^2-2x+5$

$x_p = - \frac {b}{2a} = - (\frac {-2}{2})= 1$

$y_p = 1^2 - 2 \times 1 + 5 = 4$

maka berarti titik pusatnya berada pada koordinat (1,4).

$3x+4y+5=0$

$A=3, B=4, C=5$

$d = r = \left\vert \frac {Ax_1+By_1+C}{\sqrt {A^2+B^2}} \right\vert$

$d = r = \left\vert \frac {3 \times 1 + 4 \times 4 + 5}{\sqrt {3^2+4^2}} \right\vert$

$d = r = \frac {24}{5}$

$\boldsymbol (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2$

$\boldsymbol (x-1)^2 + (y-4)^2 = \frac {576}{25}$

$x^2+y^2-2x-8y+17 - \frac {576}{25}=0$

$25x^2+ 25y^2 - 50x - 200y - 151=0$

Kedudukan garis terhadap lingkaran

Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran, substitusikan garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax²+bx+c=0.
Lihat diskriminannya: $D=b^2-4 ac$
Jika

D<0, berarti garis berada di luar lingkaran (tidak memotong lingkaran)
D=0, berarti garis menyinggung lingkaran
D>0, berarti garis memotong lingkaran di 2 titik berbeda.

Contoh 1:

Tentukan posisi garis:
- $y= x+10$ terhadap lingkaran $x^2+y^2= 9$

Jawab:

$x^2 + (x+10)^2=9$

$x^2+ (x^2+20x+100)-9=0$

$2x^2 +20x+91=0$

$D=b^2-4 ac$

$D=20^2- 4\times 91 \times 2$

$D= 400-728= -328$

Karena $D<0$ , maka garis berada di luar lingkaran.
Contoh 2:

Tentukan p agar garis $y= -x+p$ terletak di luar lingkaran $x^2+y^2-2x-4y+3=0$ !

Jawab:

$x^2+ (-x+p)^2 - 2x- 4(-x+p)+ 3=0$

$2x^2 - 2px + p^2 - 2x + 4x -4p + 3=0$

$2x^2 + (2-2p)x + p^2 -4p + 3=0$

syarat: $D<0$

$(2-2p)^2-4(2)(p^2-4p+3)<0$

$4p^2-8p+4-8p^2+32p-24<0$

$-4p^2+24p-20<0$

$-4(p^2-6p+5)<0$

$-4(p-5)(p-1)<0$

$p=5$ atau $p=1$

Gambar dengan garis bilangan untuk pertidaksamaan diatas, maka akan didapatkan nilai p: $p<1$ atau $p>5$

Persamaan garis singgung lingkaran

Perhatian! Persamaan garis singgung lingkaran merupakan salah satu bahan yang diujikan dalam ujian nasional.

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x₁,y₁) yang terletak pada lingkaran

Jika persamaan lingkaran $x^2+y^2=r^2$ , maka persamaan garis singgungnya:

$x_1x + y_1y = r^2$

Jika persamaan lingkaran $(x-x_p)^2+ (y-y_p)^2=r^2$ , maka persamaan garis singgungnya:

$(x_1-x_p)(x-x_p) + (y_1-y_p)(y-y_p) = r^2$

Jika persamaan lingkaran berbentuk $x^2 + y^2 + Ax + By + C =0$ , maka persamaan garis singgungnya:

$x_1x + y_1y + \frac {1}{2} A(x+x_1) + \frac {1}{2} B(y+y_1)+C=0$

Persamaan lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C =0$ dapat juga diubah menjadi $(x-x_p)^2+ (y-y_p)^2=r^2$ dengan kuadrat sempurna, sehingga rumus yang harus dihafalkan jadi lebih sedikit.

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m

$y = mx \pm r \sqrt {m^2+1}$ atau $y-y_p = m (x-x_p) \pm r \sqrt {m^2+1}$

Sri Kurniati

Sri Kurniati

Pages

Selasa, 04 Desember 2012

Persamaan lingkaran

Kedudukan garis terhadap lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x₁,y₁) yang terletak pada lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m

Persamaan lingkaran

Kedudukan garis terhadap lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x₁,y₁) yang terletak pada lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m

Welcome To Sri Blog's

Popular Posts

Mengenai Saya

Lencana Facebook

Pengikut

Blog Archive

Sri Kurniati

Sri Kurniati

Pages

Selasa, 04 Desember 2012

Persamaan lingkaran

Kedudukan garis terhadap lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x1,y1) yang terletak pada lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m

Persamaan lingkaran

Kedudukan garis terhadap lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x1,y1) yang terletak pada lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m

Welcome To Sri Blog's

Popular Posts

Mengenai Saya

Lencana Facebook

Pengikut

Blog Archive

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x₁,y₁) yang terletak pada lingkaran

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x₁,y₁) yang terletak pada lingkaran